Конспект "Разложение на множители"

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена. 

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

  1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
  2. Вынести общий множитель за скобки.
  3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И ее всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

Как решаем:

1 способ

2 способ

up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd)

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Получим: p(u — b) + d(u — b).

Заметим, что общий множитель (u — b).

Вынесем его за скобки: 

(u — b)(p + d). 

Группировка множителей выполнена.

up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd)

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Получим: u(p + d) — b(p + d).

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки: 

(p + d) (u — b).

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

Как решаем:

  1. Найдем общий множитель: (m — n)
  2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d). 

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители  с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

Как решаем: 

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные. 

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax2 — bx2 + bx — ax + a — b.

Как решаем:

  1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax2 — bx2 + bx — ax + a — b = (ax2 — bx2) + (bx — ax) + (a — b) = x2(a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

  1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x2(a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x2 + x + 1)

Ответ: ax2 — bx2 + bx — ax + a — b = (a — b)(x2 + x + 1)

Видео

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x4+4×3-x2-8x-2 на множители. Решение Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1, -1, 2 и -2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что 14+4·13-12-8·1-2=-6≠(-1)4+4·(-1)3-(-1)2-8·(-1)-2=2≠24+4·23-22-8·2-2=26≠(-2)4+4·(-2)3-(-2)2-8·(-2)-2=-6≠ Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения. Необходимо провести группировку: x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1) После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что x2-2=x2=2×1=2×2=-2⇒x2-2=x-2x+2×2+4x+1=D=42-4·1·1=12×1=-4-D2·1=-2-3×2=-4-D2·1=-2-3⇒x2+4x+1=x+2-3x+2+3 Значит: x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3 Замечание Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x4+3×3-x2-4x+2 . Решение Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2) После разложения на множители получим, что x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52

Простое разложение

На уроках математики ученикам предлагают разложить на простые множители числа с помощью столбика (двух колонок). Делается это по следующему алгоритму. Исходное число проверяют на возможность деления без остатка на два. Если делится, то рисуют две колонки, в правую вписывают двойку, а в левую число, получившееся после деления на него исходного. В обратном случае вместо двойки используют цифру три. Далее действия повторяют для числа, находящегося уже в правой колонке. Выполняют деление до тех пор, пока в левой колонке не останется единица. Например, число 1176 можно разложить следующим образом:

1176 | 2 (1176 / 2 = 588).

 588 | 2 (588 / 2 = 294).

588 | 2 (588 / 2 = 294).

294 | 2 (294 / 2 = 147).

147 | 2 (147 / 3 = 49).

49 | 2 (49 / 7 = 7).

7 | 2 (7 / 7 = 1).

1176 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7 = 23 * 3 * 72.

Для того чтобы понять алгоритм, лучше рассмотреть ещё несколько интересных примеров:

  • 7140 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 17 = 2 2 • 3 • 5 • 7 • 17;
  • 5544 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7 • 11 = 2 3 • 32 • 7 • 11;
  • 4104 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 19 = 2 3 • 33 • 19;
  • 546 = 2 • 3 • 7 • 13;
  • 510 = 2 • 3 • 5 • 17;
  • 495 = 3 • 3 • 5 • 11 = 3 2 • 5 • 11;
  • 224 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 7 = 2 5 • 7;
  • 208 = 2 • 2 • 2 • 2 • 13 = 2 4 • 13;
  • 156 = 2 • 2 • 3 • 13 = 2 2 • 3 • 13;
  • 126 = 2 • 3 • 3 • 7 = 2 • 3 2 • 7;
  • 118 = 2 • 59.

Используя метод, можно представить любое число как произведение простых множителей, но с условием, что изначально оно будет кратным двум или трём. В ином же случае простые множители подобрать не получится, как, например, для числа 247, которое можно заменить произведением чисел 13 и 19.

Использование онлайн-калькуляторов

 Порой, для решения сложных заданий нужно затратит

Порой, для решения сложных заданий нужно затратить много времени. При этом всегда существует риск допустить ошибку при расчётах. Чтобы этого избежать или проверить свой ответ, можно воспользоваться сайтами, предлагающие онлайн-калькуляторы. Использовать их сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методов, используемых для упрощения выражений.

Расчёт обычно занимает менее 30 секунд. Приложений для упрощений уравнений достаточно много. Написаны они на Паскале или javascript. Появление ошибки при вычислении невозможно. Нередко на этих сайтах ещё и содержится информация о способах упрощения полиномов.

Для того чтобы получить ответ, необходимо будет с помощью браузера зайти на сайт онлайн-калькулятора и заполнить предлагаемые им поля. После того как упрощаемое выражение будет вписано, следует нажать кнопку «Рассчитать» или «Упростить выражение» и получить ответ с пошаговым решением.

Предыдущая

Алгебра Область значения функции как определить и найти, примеры решения нахождения области значений тригонометрических функций по графику

Следующая

Алгебра Определитель матрицы свойства, методы и способы вычисления, разложение определителя по элементам строки или столбца, определитель матрицы методом Гаусса

Теги

Adblock
detector