Урок 21. Конечные десятичные дроби

Понятие десятичной дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

  • 0,8
  • 7,42
  • 9,932

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Видео

Как правильно читать десятичные дроби

Существуют некоторые правила чтения записей десятичных дробей. Так, те десятичные дроби, которым соответствуют их правильные обыкновенные эквиваленты, читаются почти так же, но с добавлением слов «ноль десятых» в начале. Так, запись ,14, которой соответствует 14100, читается как «ноль целых четырнадцать сотых».

Если же десятичной дроби можно поставить в соответствие смешанное число, то она читается тем же образом, как и это число. Так, если у нас есть дробь 56,002, которой соответствует 5621000, мы читаем такую запись как «пятьдесят шесть целых две тысячных».

Десятичные дроби подробнее

Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, \( \displaystyle \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\frac{5}{112}\).

Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби \( \displaystyle \frac{8}{10},\ \frac{13}{100},\frac{49}{1000}\) и т.д.

Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:

\( \displaystyle \frac{8}{10}=0,8\)\( \displaystyle \frac{13}{100}=0,13\)\( \displaystyle \frac{49}{1000}=0,049\)Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является \( 10\) в какой-либо степени (первый пример – \( 10\) в первой степени, второй – \( 10\) во второй степени и т.д.).

Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:

Это огромное число читается по следующему алгоритму:

  1. Сначала читается число, стоящее до запятой и добавляется слово «целых»: ««\( 46\) целых»;
  2. Затем читается как обыкновенное число слева после запятой и добавляется слово, обозначающее название самой последней цифры. В нашем случае – «одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные».

А теперь прочитаем все вместе – «\( 46\) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!

Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат \( 10\) на \( 10\) и закрась какую-нибудь его часть равную:

  • \( 0,05;\)
  • \( 0,4;\)
  • \( 0,27;\)
  • \( 0,245\)

Справился? Проверяем, что у тебя получилось.

Во-первых, квадрат \( 10\) на \( 10\) состоит из \( 100\) клеточек. Соответственно, \( 0.05\) – \( 5\) клеточек из \( 100\); \( 0,4\) – \( 40\) клеточек из \( 100\) и так далее.

Наверняка, наибольшее затруднение составило последнее число – \( -0,245\). На картинке это необходимо отразить как 24,5 клетки.

В общем, смотри:

С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Попробуй перевести:

  • \( 0,136\)
  • \( 0,2436\)
  • \( 0,0456\)
  • \( 0,21\)

Сравним ответы:

  • \( \displaystyle 0,136=\frac{136}{1000}\)
  • \( \displaystyle 0,2436=\frac{2436}{10000}\)
  • \( \displaystyle 0,0456=\frac{456}{10000}\)
  • \( \displaystyle 0,21=\frac{21}{100}\)

Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?

Попробуй свои силы на вот этих дробях:

  • \( \displaystyle \frac{2}{10}\)
  • \( \displaystyle \frac{3}{100}\)
  • \( \displaystyle \frac{4}{1000}\)
  • \( \displaystyle \frac{4562}{100}\)

А вот и ответы:

  • \( \displaystyle \frac{2}{10}=0,2\)
  • \( \displaystyle \frac{3}{100}=0,03\)
  • \( \displaystyle \frac{4}{1000}=0,004\)
  • \( \displaystyle \frac{4562}{100}=45\frac{62}{100}=45,62\)

Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.

  1. Смотрим на дробь и определяем, есть ли у нее целая часть? Если есть, выделяем целую часть, записываем ее, и ставим запятую.
  2. После запятой должно быть столько знаков, сколько нулей стоит в знаменателе. Например, дробь \( \displaystyle \frac{4}{1000}\) — \( 3\) нуля в знаменателе, соответственно, мы как бы мысленно выделяем \( 3\) ячейки.
  3. Затем записываем числитель – \( 4\), но выравниваем его по правому краю, а в пустые ячейки вставляем нули.

Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:

Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:

  • \( \displaystyle \frac{26}{10}\)
  • \( \displaystyle \frac{43}{100}\)
  • \( \displaystyle \frac{99}{1000}\)
  • \( \displaystyle \frac{3562}{100}\)

А теперь ответы:

  • \( \displaystyle \frac{26}{10}=2,6\)
  • \( \displaystyle \frac{43}{100}=0,43\)
  • \( \displaystyle \frac{99}{1000}=0,099\)
  • \( \displaystyle \frac{3562}{100}=35,62\)

Произношение десятичных дробей

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» («целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т. д.), а знаменатель — порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т. д.).

Однако на практике часто встречается такое произношение: целая часть, союз «и», дробная часть.

Примеры
числовая запись верное произношение неверное произношение
123,567 сто двадцать три целых пятьсот шестьдесят семь тысячных сто двадцать три и пятьсот шестьдесят семь
1,5 одна целая пять десятых (полтора) один и пять
0,01 одна сотая ноль и ноль один

Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым перевóдим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.

После того как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример: перевести смешанное число Сначала записываем целую часть и ставим запятую: в десятичную дробь.

Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

3,

И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать сколько нулей содержится в знаменателе дробной части.

Итак, посчитаем количество нулей в дробной части смешанного числа 3,2 .  Видим, что в знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа 3,2 , то есть число 2

3,2

Таким образом, смешанное число 3,2. при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2. Эта десятичная дробь читается так:

«Три целых, две десятых»

«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа Пример 2. Перевести смешанное число  в десятичную содержится число 10.

Пример 2. Перевести смешанное число Записываем цéлую часть и ставим запятую: в десятичную дробь.

Записываем цéлую часть и ставим запятую:

5,

И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа В таких случаях числитель дробной части нужно немн. А мы видим, что в знаменателе дробной части   два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.

В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3

Теперь можно довести дело до конца. Записываем пос

Теперь можно довести дело до конца. Записываем после запятой числитель дробной части:

5,03

Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа Десятичная дробь 5,03 читается так:  одинаково.

Десятичная дробь 5,03 читается так:

«Пять целых, три сотых»

«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа Пример 3. Перевести смешанное число  в десятичную содержится число 100.

Пример 3. Перевести смешанное число Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешног в десятичную дробь.

Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в  знаменателе дробной части должно быть одинаковым.

Перед переводом смешанного числа В первую очередь смóтрим на количество нулей в зна в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.

В первую очередь смóтрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:

Наша задача организовать в числителе дробной части

Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это цифра 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед цифрой 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:

Теперь можно заняться переводом этого смешанного ч

Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала цéлую часть и ставим запятую:

3,

и сразу записываем числитель дробной части

3,002

Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа Десятичная дробь 3,002 читается так: одинаково.

Десятичная дробь 3,002 читается так:

«Три целых, две тысячных»

«Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа 
  содержится число 1000.

Как записать десятичную дробь

Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.

Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.

Как решаем:

  1. Знаменатель равен 10 — это один ноль.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части один знак и ставим запятую.
  3. В полученной десятичной дроби цифра 1 — целая часть, цифра 6 — дробная часть.

Ответ: 16/10 = 1,6.

Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.

Как решаем:

  1. Знаменатель равен 1000 — это три нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Так как в числителе только две цифры, то на пустующие места пишем нули.
  4. В полученной десятичной дроби цифра 0 — целая часть, 037 — дробная часть.

Ответ: 37/1000 = 0,037.

Перевод неправильных дробей в десятичную дробь

Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя.

Бывают неправильные дроби, у которых в знаменателе содержатся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять цéлую часть.

Пример 1. Перевести неправильную дробь Дробь  является неправильной. Чтобы перевести таку в десятичную.

Дробь этой теме является неправильной. Чтобы перевести такую дробь в десятичную, нужно в первую очередь выделить у нее цéлую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к этой теме и хорошенько изучить её.

Итак, выделим целую часть в неправильной дроби . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10. Деление нужно выполнить с остатком:

Посмóтрим на этот рисунок и соберём новое смешанно

Посмóтрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Частное 11 будет целой частью, остаток 2 — числителем дробной части, делитель 10 — знаменателем дробной части:

Мы получили смешанное число . Его и переведём в де

Мы получили смешанное число 11, . Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

11,

Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части  и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать после запятой числитель дробной части:

11,2

Значит, неправильная дробь 11,2 при переводе в десятичную обращается в 11,2

Десятичная дробь 11,2 читается так:

«Одиннадцать целых, две десятых».

Пример 2. Перевести неправильную дробь Это неправильная дробь, поскольку числитель больше  в десятичную дробь.

Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе содержится число 100.

В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим уголком 450 на 100:

Соберём новое смешанное число — получим  . Т

Соберём новое смешанное число — получим 4, . Теперь переведём его в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:

4,

Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе  и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:

4,50

Значит неправильная дробь 4,50 при переводе в десятичную обращается в 4,50

При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5

Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны и между ними можно поставить знак равенства:

4,50 = 4,5

Возникает вопрос «а почему так происходит Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».

Перевод десятичной дроби в обыкновенную

Правило

1. Целая часть десятичной дроби равна целой части обыкновенной. Поэтому запишите целую часть. Ничего не пишем, если целая часть десятичной дроби равна нулю!

2. Число, стоящее после запятой, запишите в числитель (без нулей, стоящих после запятой (справа от запятой) до первой отличной от нуля цифры). Например, 0,0025=25/……

3. Знаменатель дроби запишите в виде единицы со столькими нулями, сколько цифр стоит после запятой. Например, 0,0025=25/10000

4. Сократите полученную дробь, если это возможно.

Положение десятичных дробей на оси координат

Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.

Мы уже изучали, как построить точки, соответствующие обыкновенным дробям, а ведь десятичные дроби можно привести к такому виду. Например, обыкновенная дробь 1410 – это то же самое, что и 1,4, поэтому соответствующая ей точка будет удалена от начала отсчета в положительном направлении ровно на такое же расстояние:

Можно обойтись без замены десятичной дроби на обык

Можно обойтись без замены десятичной дроби на обыкновенную, а взять на основу метод разложения по разрядам. Так, если нам надо отметить точку, координата которой будет равна 15,4008, то мы предварительно представим это число в виде суммы 15+,4+,0008. Для начала отложим от начала отсчета 15 целых единичных отрезков в положительном направлении, потом 4 десятых доли одного отрезка, а потом 8 десятитысячных долей одного отрезка. В итоге мы получим точку координат, которой соответствует дробь 15,4008.

Для бесконечной десятичной дроби лучше пользоваться именно этим способом, поскольку он позволяет приблизиться к нужной точке сколь угодно близко. В некоторых случаях можно построить и точное соответствие бесконечной дроби на оси координат: так, 2=1,41421..., и с этой дробью может быть соотнесена точка на координатном луче, удаленная от на длину диагонали квадрата, сторона которого будет равна одному единичному отрезку.

Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.

Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью). Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку. После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.

Выше мы приводили рисунок с точкой M. Посмотрите на него еще раз: чтобы попасть в эту точку, нужно отмерить от нуля один единичный отрезок и четыре десятых доли от его, поскольку этой точке соответствует десятичная дробь 1,4.

Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги

Теги

Adblock
detector